已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=152，PF1•PF2=34，其中O

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已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=152，PF1•PF2=34，其中O

题型：不详难度：来源：
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为


3
2
，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=


15
2
，


PF1
•


PF2
=
3
4
，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-
6
5
，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
答案
（1）设P（x0，y0），∵|OP|=


15
2
，∴x02+y02=
15
4
①
又


PF1
•


PF2
=
3
4
，∴(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=
3
4
，即x02-c2+y02=
3
4
②
①代入②得：c=


3
．又e=


3
2
，∴a=2，b=1．
故所求椭圆方程为
x2
4
+y2=1；
（2）直线l的方程为y=k(x+
6
5
)，
联立





y=k(x+
6
5
)
x2
4
+y2=1
，得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0．
x1+x2=-
240k2
25+100k2
，x1x2=
144k2-100
25+100k2
．
设AB的中点M（x0，y0），
则x0=-
120k2
25+100k2
，y0=k(
6
5
-
120k2
25+100k2
)=
30k
25+100k2
．
所以kMQ=
30k
25+100k2
2-
120k2
25+100k2
=
3k
5+8k2
．
若三角形QAB为等腰三角形，则MQ⊥AB，
即
3k
5+8k2
•k=-1，此式无解，
所以使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．
举一反三
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（I）求椭圆的方程；
（II）过定点M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0为常数）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于不同的两点A．B，问在x轴上是否存在一点N，使直线NA与NB的倾斜角互补？若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
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已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e，且b，e，
1
3
为等比数列，曲线y=8-x2恰好过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设双曲线C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的顶点和焦点分别是椭圆C1的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C1和C2上的点，问是否存在A，B满足


OA
=
1
2


OB
．请说明理由．若存在，请求出直线AB的方程．
题型：不详难度：| 查看答案
已知函数f(x)=mx-2+


2
-1（m＞0，m≠1）的图象恒通过定点（a，b）．设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
（1）求椭圆E的方程．
（2）若动点T（t，0）在椭圆E长轴上移动，点T关于直线y=-x+
1
t2+1
的对称点为S（m，n），求
n
m
的取值范围．
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上项点为B1，右、右焦点为F1、F2，△B1F1F2是面积为


3
的等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知P（x0，y0）是以线段F1F2为直径的圆上一点，且x0＞0，y0＞0，求过P点与该圆相切的直线l的方程；
（III）若直线l与椭圆交于A、B两点，设△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H，请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗？若在请说明理由．
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设椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为


2
2
，长轴长为6


2
，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（2）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．
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