已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(0,2),离心率e=63.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过定点N(2,0)的直线l与椭圆相交于A,B两点,且∠
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(0,2),离心率e=63.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过定点N(2,0)的直线l与椭圆相交于A,B两点,且∠
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)过点M(0,2),离心率e=
6
3
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过定点N(2,0)的直线l与椭圆相交于A,B两点,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l倾斜角的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题意得b=2,
c
a
=
6
3
结合a
2
=b
2
+c
2
,解得a
2
=12
所以,椭圆的方程为
x
2
12
+
y
2
4
=1
.…(4分)
(Ⅱ)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
OA
=(
x
1
,
y
1
)
,
OB
=(
x
2
,
y
2
)
.
①当x
1
=x
2
=2时,斜率不存在时,不妨令
OA
=
(2,
2
6
3
)
,
OB
=
(2,-
2
6
3
)
∴
OA
•
OB
=4-
8
3
=
4
3
>0
,∠AOB为锐角成立 …(6分)
②当x
1
≠x
2
时,设直线l的方程为:y=k(x-2)
由
x
2
12
+
y
2
4
=1
y=k(x-2)
得x
2
+3k
2
(x-2)
2
=12
即(1+3k
2
)x
2
-12k
2
x+12k
2
-12=0.
所以
x
1
+
x
2
=
12
k
2
1+3
k
2
,
x
1
x
2
=
12
k
2
-12
1+3
k
2
,…(8分)
∴
y
1
y
2
=
k
2
(
x
1
-2)(
x
2
-2)
=-
8
k
2
1+3
k
2
∴
OA
•
OB
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=
8
k
2
-12
1+3
k
2
>0 …(10分)
解得k
>
3
或k
<-
3
.…(12分)
综上,直线l倾斜角的取值范围是(
π
3
,
2π
3
).…(13分)
举一反三
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,椭圆上任意一点到右焦点f的距离的最大值为
2
+1
.
(I)求椭圆的方程;
(II)已知点C(m,0)是线段OF上异于O、F的一个定点(O为坐标原点),是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得|AC|=|BC|,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的一个焦点是F(1,0),且离心率为
1
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y
0
),求y
0
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的离心率为
,
焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知F
1
(-c,0),F
2
(c,0)是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,过点F
1
作倾斜角为
π
4
的直线l交椭圆于A,B两点,
A
F
1
=(2-
3
)
F
1
B
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若|AB|=3,求椭圆的标准方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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(λ>0),使得
abco
s
2
C
2
=λ
.
(1)求动点C的轨迹,并求其标准方程;
(2)设点O为坐标原点,过点B作直线l与(1)中的曲线交于M,N两点,若OM⊥ON,试确定λ的范围.
题型:闸北区二模
难度:
|
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