已知椭圆的中心在原点,一个焦点F1(0,-22),且离心率e满足:23,e,43成等比数列.(1)求椭圆方程;(2)是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、
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已知椭圆的中心在原点,一个焦点F1(0,-22),且离心率e满足:23,e,43成等比数列.(1)求椭圆方程;(2)是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆的中心在原点,一个焦点F
1
(0,-2
2
),且离心率e满足:
2
3
,e,
4
3
成等比数列.
(1)求椭圆方程;
(2)是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x=-
1
2
平分.若存在,求出l的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由.
答案
(1)依题意,∵
2
3
,e,
4
3
成等比数列,∴e=
2
2
3
.
又F
1
(0,-2
2
),c=2
2
,∴a=3,
∴b=
a
2
-
c
2
=1,
∴所求方程为x
2
+
1
9
y
2
=1
(2)假设存在直线l,依题意l交椭圆所得弦MN被x=-
1
2
平分,
∴直线l的斜率存在.
设直线l:y=kx+m,则
由
y=kx+m
x
2
+
y
2
9
=1
消去y,整理得(k
2
+9)x
2
+2kmx+m
2
-9=0
∵l与椭圆交于不同的两点M,N,
∴△=4k
2
m
2
-4(k
2
+9)(m
2
-9)>0,即m
2
-k
2
-9<0①
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则
x
1
+
x
2
=-
2km
k
2
+9
∴
x
1
+
x
2
2
=
-km
k
2
+9
=-
1
2
,∴m=
k
2
+9
2k
②
把②代入①式中得
(
k
2
+9)
2
4
k
2
-(k
2
+9)<0
∴k>
3
或k<-
3
∴直线l倾斜角α∈(
π
3
,
π
2
)∪(
π
2
,
2π
3
)
举一反三
已知椭圆C以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心,椭圆的一个焦点为(1,0),点
(
3
2
,
6
2
)
在椭圆上,直线l过椭圆的右焦点与椭圆交于M,N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若线段MN的垂直平分线过点
(0,
1
5
)
,求出直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
e=
6
3
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为
3
2
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,其右焦点到直线x-y+2
2
=0的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线y=
3
3
x+1与椭圆交于P、N两点,求|PN|.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
过点
(1,
3
2
)
,且离心率e=
1
2
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过定点
G(
1
8
,0)
,求k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(1)焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.
(2)已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0,并经过点(2,2),求此双曲线的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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