已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32),且离心率e=12.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32),且离心率e=12.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(1,
3
2
)
,且离心率e=
1
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过定点G(
1
8
,0)
,求k的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题意椭圆的离心率∴e=
c
a
=
1
2
∴a=2c∴b2=a2-c2=3c2
∴椭圆方程为
x2
4c2
+
y2
3c2
=1
又点(1,
3
2
)
在椭圆上∴
1
4c2
+
(
3
2
)
2
3c2
=1
∴c2=1
∴椭圆的方程为
x2
4
+
y2
3
=1
…(4分)
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2)由





x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m

消去y并整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0…(6分)
∵直线y=kx+m与椭圆有 两个交点△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3…(8分)
x1+x2=-
8km
3+4k2
∴MN中点P的坐标为(-
4km
3+4k2
3m
3+4k2
)
…(9分)
设MN的垂直平分线l"方程:y=-
1
k
(x-
1
8
)

∵p在l"上∴
3m
3+4k2
=-
1
k
(-
4km
3+4k2
-
1
8
)
即4k2+8km+3=0
m=-
1
8k
(4k2+3)
…(11分)
将上式代入得
(4k2+3)2
64k2
<4k2+3

k2
1
20

k>


5
10
k<-


5
10
,∴k的取值范围为(-∞,-


5
10
)∪(


5
10
,+∞)
举一反三
(1)焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.
(2)已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0,并经过点(2,2),求此双曲线的标准方程.
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在△ABC中,BC边长为24,AC、AB边上的中线长之和等于39.若以BC边中点为原点,BC边所在直线为x轴建立直角坐标系,则△ABC的重心G的轨迹方程为:______.
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在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=


2
2
,左右两个焦分别为F1,F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的一个顶点为B(0,-b),是否存在直线l:y=x+m,使点B关于直线l 的对称点落在椭圆C上,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
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已知椭圆的两焦点为F1(-


3
,0)
F2(


3
,0)
,离心率e=


3
2

(1)求此椭圆的方程;
(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值;
(3)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的直角三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆的一个焦点F1(0,-2


2
)
,对应的准线方程为y=-
9
4


2
,且离心率e满足
2
3
,e,
4
3
成等比数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x=-
1
2
平分?若存在,求出l的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.
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