在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,左右两个焦分别为F1,F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M
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在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,左右两个焦分别为F1,F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M
题型:不详
难度:
来源:
在直角坐标系xOy中,已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率e=
2
2
,左右两个焦分别为F
1
,F
2
.过右焦点F
2
且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的一个顶点为B(0,-b),是否存在直线l:y=x+m,使点B关于直线l 的对称点落在椭圆C上,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率e=
2
2
,
左右两个焦分别为F
1
,F
2
.过右焦点F2且与轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=2,
∴
c
a
=
2
2
2
b
2
a
=2
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得a=2,b=
2
,c=
2
,
∴椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1
.
(2)∵椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1
,椭圆C的一个顶点为B(0,-b),
∴B(0,-
2
),
若存在存在直线l:y=x+m,使点B关于直线l的对称点B′落在椭圆C上,
则直线BB′过点B(0,-
2
),且BB′⊥l,直线l垂直平分线段BB′,
∴直线BB′的方程为:y+
2
=-x,即x+y+
2
=0,
联立
x+y+
2
=0
x
2
4
+
y
2
2
=1
,解得B(0,-
2
),B′(-
4
3
2
,
2
3
),
∵直线l:y=x+m垂直平分线段BB′,
∴直线l:y=x+m过BB′的中点(-
2
3
2
,-
2
3
),
∴m=-
2
3
+
2
2
3
=
2
3
.
∴直线l的方程为y=x+
2
3
.
举一反三
已知椭圆的两焦点为
F
1
(-
3
,0)
,
F
2
(
3
,0)
,离心率
e=
3
2
.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值;
(3)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的直角三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的一个焦点
F
1
(0,-2
2
)
,对应的准线方程为
y=-
9
4
2
,且离心率e满足
2
3
,e,
4
3
成等比数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线
x=-
1
2
平分?若存在,求出l的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形,焦点在y轴上,且a-c=
3
那么椭圆的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
关于抛物线y
2
=-4x的准线l对称的椭圆方程是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆的两焦点为F
1
(0,-1)、F
2
(0,1),直线y=4是椭圆的一条准线.
(1)求椭圆方程;
(2)设点P在椭圆上,且|PF
1
|-|PF
2
|=1,求tan∠F
1
PF
2
的值.
题型:不详
难度:
|
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