已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为5π6,原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在实数

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为5π6,原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在实数

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为
6
,原点到该直线的距离为


3
2

(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在实数k,使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点,以PQ为直径的圆过点D(1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为
6

原点到该直线的距离为


3
2

b
a
=


3
3
1
2
ab=
1
2


3
2


a2+b2

解得a=


3
,b=1,
∴椭圆方程是
x2
3
+y2=1

(2)将y=kx+2代入
x2
3
+y2=1

得(3k2+1)x2+12kx+9=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D(1,0)
则PD⊥QD,即(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,
又y1=kx1+2,y2=kx2+2,
得(k2+x)x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0,
x1x2=
9
3k2+1
x1+x2=-
12k
3k2+1

代上式,得k=-
7
6

∵此方程中,△=144k2-36(3k2+1)>0,∴k>1,或k<-1.
∴存在k=-
7
6
满足题意.
举一反三
设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点M(


2
,1),且左焦点为F1(-


2
,0)

(1)求椭圆C的方程;
(2)判断是否存在经过定点(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点并且满足


OA


OB
=0
,若存在求出直线l的方程,不存在说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆E的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点(1,
3
2
)在椭圆E上.求椭圆E的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2


3
,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是______.
题型:上海难度:| 查看答案
已知椭圆的两焦点为F1(-


3
,0),F2


3
,0),离心率e=


3
2

(1)求此椭圆的方程;
(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C的两焦点分别为F1(-2


2
,0)、F2(2


2
,0)
,长轴长为6,
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度..
题型:不详难度:| 查看答案
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