在平面直角坐标系xOy中,已知圆B:(x-1)2+y2=16与点A(-1,0),P为圆B上的动点,线段PA的垂直平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线C.(

在平面直角坐标系xOy中,已知圆B:(x-1)2+y2=16与点A(-1,0),P为圆B上的动点,线段PA的垂直平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线C.(

题型:徐州模拟难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知圆B:(x-1)2+y2=16与点A(-1,0),P为圆B上的动点,线段PA的垂直平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)曲线C与x轴正半轴交点记为Q,过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M,N,连接QM,QN,分别交直线x=t(t为常数,且t≠2)于点E,F,设E,F的纵坐标分别为y1,y2,求y1•y2的值(用t表示).魔方格
答案
(1)连接RA,由题意得,|RA|=|RP|,|RP|+|RB|=4,
∴|RA|+|RB|=4>|AB|=2,
由椭圆定义得,点R的轨迹方程是
x2
4
+
y2
3
=1

(2)设M(x0,y0),则N(-x0,-y0),QM,QN的斜率分别为kQM,kQN
魔方格

kQM=
y0
x0-2
kNQ=
y0
x0+2

∴直线QM的方程为y=
y0
x0-2
(x-2)
,直线QN的方程y=
y0
x0+2
(x-2)

令x=t(t≠2),则y1=
y0
x0-2
(t-2),y2=
y0
x0+2
(t-2)

又∵(x0,y0)在椭圆
x20
4
+
y20
3
=1
,∴
y20
=3-
3
4
x20

y1y2=
y20
x20
-4
(t-2)2=
(3-
3
4
x20
)(t-2)2
x20
-4
=-
3
4
(t-2)2
,其中t为常数.
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为


2
2
,其焦点在圆x2+y2=1上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使


OM
=cosθ


OA
+sinθ


OB

(i)求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;
(ii)求OA2+OB2
题型:不详难度:| 查看答案
设F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右两个焦点.
(Ⅰ)若椭圆C上的点A(1,
3
2
)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(Ⅱ)设点P是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点,Q(0,
1
2
),求|PQ|的最大值;
(Ⅲ)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P在椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为KPM、KPN时,那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值.设对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1写出具有类似特性的性质(不必给出证明).
题型:南宁二模难度:| 查看答案
设椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,一个顶点坐标为(2,0),离心率为


3
2

(1)求这个椭圆的方程;
(2)若这个椭圆左焦点为F1,右焦点为F2,过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,求△ABF2的面积.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),点P(


3
3


11
2
)
在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)记O为坐标原点,过F2(1,0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点,若△OEF的面积为
6


2
7
,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆的一个焦点F1(0,-2


2
)
,且离心率e满足
2
3
,e,
4
3
成等比数列.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试问是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M,N,且线段MN恰被点P(-
1
2
3
2
)
平分.
题型:不详难度:| 查看答案
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