在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：（x-1）2+y2=16与点A（-1，0），P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C．（

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在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：（x-1）²+y²=16与点A（-1，0），P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连接QM，QN，分别交直线x=t（t为常数，且t≠2）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为y₁，y₂，求y₁•y₂的值（用t表示）．魔方格

答案

（1）连接RA，由题意得，|RA|=|RP|，|RP|+|RB|=4，
∴|RA|+|RB|=4＞|AB|=2，
由椭圆定义得，点R的轨迹方程是

=1．
（2）设M（x₀，y₀），则N（-x₀，-y₀），QM，QN的斜率分别为k_QM，k_QN，
魔方格

则kQM=

x0-2

，kNQ=

x0+2

，
∴直线QM的方程为y=

x0-2

(x-2)，直线QN的方程y=

x0+2

(x-2)，
令x=t（t≠2），则y1=

x0-2

(t-2)，y2=

x0+2

(t-2)，
又∵（x₀，y₀）在椭圆

=1，∴

=3-

，
∴y1•y2=

-4

(t-2)2=

(3-

)(t-2)2

-4

(t-2)2，其中t为常数．

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

=1（a＞b＞0）的离心率为

，其焦点在圆x²+y²=1上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使

=cosθ

+sinθ

．
（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
（ii）求OA²+OB²．

题型：不详难度：| 查看答案

设F₁、F₂分别为椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，

），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线

=1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．

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设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为

．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF₂的面积．

题型：不详难度：| 查看答案

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），点P(

，

)在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过F₂（1，0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，若△OEF的面积为

，求直线l的方程．

题型：不详难度：| 查看答案

已知椭圆的一个焦点F1(0，-2

)，且离心率e满足

，e，

成等比数列．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN恰被点P(-

，

)平分．

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