已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C的左右顶点,点P是椭圆C上异于A,B的
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C的左右顶点,点P是椭圆C上异于A,B的
题型:佛山二模
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为
3
2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B为椭圆C的左右顶点,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l:x=2
2
于E,F两点.证明:以线段EF为直径的圆恒过x轴上的定点.
答案
(1)由题意可知,b=1,…(1分)
∵
e=
c
a
=
3
2
,a
2
=b
2
+c
2
.…(3分)
∴a=2,…(4分)
∴椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
.…(5分)
(2)证明:由题可得A(-2,0),B(2,0).
设P(x
0
,y
0
),由题意可得,直线AP的方程为
y=
y
0
x
0
+2
(x+2)
,…(7分)
令
x=2
2
,则y=
(2
2
+2)
y
0
x
0
+2
,即E(
2
2
,
(2
2
+2)
y
0
x
0
+2
); …(8分)
直线BP的方程为
y=
y
0
x
0
-2
(x-2)
,…(9分)
令
x=2
2
,则y=
(2
2
-2)
y
0
x
0
-2
,即F(
2
2
,
(2
2
-2)
y
0
x
0
-2
); …(10分)
设点M(m,0)在以线段EF为直径的圆上,则
ME
•
MF
=0,…(11分)
即
(m-2
2
)
2
+
4
y
0
2
x
0
2
-4
=0,…(12分)
∵
x
0
2
4
+
y
0
2
=1
,即
4
y
0
2
=4-
x
0
2
,
∴
(m-2
2
)
2
=1
,
∴m=
2
2
+1
或m=
2
2
-1
.…(13分)
所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点(
2
2
+1
,0)或(
2
2
-1
,0).…(14分)
举一反三
如图,点F是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点,A、B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为
1
2
.点C在x轴上,BC⊥BF,且B、C、F三点确定的圆M恰好与直线
x+
3
y+3=0
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点,在x轴上是否存在定点N,使得NF恰好为△PNQ的内角平分线,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.
题型:泰安一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线
y=
1
4
x
2
的焦点,离心率等于
2
5
5
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若
MA
=
λ
1
AF
,
MB
=
λ
2
BF
,求证:λ
1
+λ
2
为定值.
题型:南开区一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率e=
2
2
,左、右焦点分别为F
1
、F
2
,点
P(2,
3
)
,点F
2
在线段PF
1
的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,直线F
2
M与F
2
N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.
题型:焦作模拟
难度:
|
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已知椭圆
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1(a>b>0)的焦点分别是F
1
(0,-1),F
2
(0,1),3a
2
=4b
2
:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点P在这个椭圆上,且|PF
1
|-|PF
2
|=1,求∠F
1
PF
2
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的焦点在y轴上,两顶点间的距离为4,渐近线方程为y=±2x.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中双曲线的焦点F
1
,F
2
关于直线y=x的对称点分别为F
1
′,F
2
′,求以F
1
′,F
2
′为焦点,且过点P(0,2)的椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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