已知椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆的离心率为且经过点.M为椭圆上的动点,以M为圆心,M为半径作圆M.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若圆M与y轴有两个交点,求点
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已知椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆的离心率为且经过点.M为椭圆上的动点,以M为圆心,M为半径作圆M.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若圆M与y轴有两个交点,求点
题型:江苏省期末题
难度:
来源:
已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,椭圆的离心率为
且经过点
.M为椭圆上的动点,以M为圆心,M
为半径作圆M.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若圆M与y轴有两个交点,求点M横坐标的取值范围;
(3)是否存在定圆N,使得圆N与圆M相切?若存在.求出圆N的方程;若不存在,说明理由.
答案
解:(1)∵
,
∴a=2c,
∴b
2
=a
2
﹣c
2
=3c
2
∴椭圆的标准方程可设为:
又∵过点
,
∴
∴c=1
∴椭圆的标准方程为:
(2)设M(
,
)则半径
,圆心到y轴的距离d=|
|
若圆M与y轴有两个交点,则有r>d,即有
,
化简得
,
∵M在椭圆上,
∴
,代入上不等式得
解得:
,
∵﹣2≤
≤2,
∴
(3)存在定圆N:(x+1)
2
+y
2
=16,使得圆N与圆M相切,圆心N为椭圆的左焦点
,
由椭圆的定义知,|M
|+|M
|=2a=4
∴|M
|=4﹣|M
|
∴两圆相内切.
举一反三
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)若直线l不过点M,求证:直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.
题型:江苏省期末题
难度:
|
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椭圆
的一个焦点F与抛物线y
2
=4x的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为
,倾斜角为45°的直线l过点F.
(1)求该椭圆的方程;
(2)设椭圆的另一个焦点为
,问抛物线y
2
=4x上是否存在一点M,使得M与
关于直线l对称,若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由.
题型:内蒙古自治区期末题
难度:
|
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已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2,离心率
,右准线方程为x=2.
( 1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且
,求直线l的方程.
题型:黑龙江省月考题
难度:
|
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已知椭圆C的方程是
(a>b>0),点A,B分别是椭圆的长轴的左、右端点,左焦点坐标为(﹣4,0),且过点
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知F是椭圆C的右焦点,以AF为直径的圆记为圆M,试问:过P点能否引圆M的切线,若能,求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积;若不能,说明理由.
题型:黑龙江省期末题
难度:
|
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已知椭圆C的方程是
(a>b>0),点A,B分别是椭圆的长轴的左、右端点,左焦点坐标为(﹣4,0),且过点
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知F是椭圆C的右焦点,以AF为直径的圆记为圆M,试问:过P点能否引圆M的切线,若能,求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积;若不能,说明理由.
题型:黑龙江省期末题
难度:
|
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