已知、是椭圆的左右焦点，点P是椭圆C上的动点．（1）若椭圆C的离心率为，且的最大值为8，求椭圆C的方程；（2）若△P为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率．

题型：江苏省期末题难度：来源：

已知、是椭圆的左右焦点，点P是椭圆C上的动点．
（1）若椭圆C的离心率为，且的最大值为8，求椭圆C的方程；
（2）若△P为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率．

答案

解：（1）设椭圆C上的点P坐标为（，），
可得=（﹣c﹣，﹣），=（c﹣，﹣），
∴=（﹣c﹣）（c﹣）+=+﹣c²
∵P是椭圆C上的点，满足=b²（1﹣），且﹣a＜＜a
∴=（1﹣）+b²﹣c²≤（1﹣）a²+b²﹣c²=b²
所以，当且仅当=a²时，的最大值为b²=8，可得b=2
∵椭圆的离心率为，
∴，可得a=c，b=c
∴c=2，a=2，椭圆C的方程是
（2）∵△P为等腰直角三角形，
∴点P为短轴顶点，且OP==c即b=c，=c，
可得a²=2c²，即a=c
∴椭圆C的离心率e==