已知椭圆E:(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为,,且.(1)求椭圆E的方程;(2)若M,N是直线x=5上的两个动点,且M⊥N,则以MN为直径的圆

已知椭圆E:(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为,,且.(1)求椭圆E的方程;(2)若M,N是直线x=5上的两个动点,且M⊥N,则以MN为直径的圆

题型:安徽省月考题难度:来源:
已知椭圆E:(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为,且
(1)求椭圆E的方程;
(2)若M,N是直线x=5上的两个动点,且M⊥N,则以MN为直径的圆C是否过定点?请说明理由.
答案
解:(1)设点的坐标分别为(﹣c,0),(c,0)(c>0),

,解得c=4,
所以
所以
所以椭圆E的方程为.    
(2)设M,N的坐标分别为(5,m),(5,n),

因为
所以,即mn=﹣9,
又因为圆C的圆心为,半径为
所以圆C的方程为
即(x﹣5)2+y2﹣(m+n)y+mn=0,即(x﹣5)2+y2﹣(m+n)y﹣9=0,
令y=0,可得x=8或2,
所以圆C必过定点(8,0)和(2,0).
举一反三
已知椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)与圆x2+y2=4c2只有两个公共点,其中c是该椭圆的半焦距,椭圆上的点到直线x﹣y﹣c=0距离的最大值为
(1)求椭圆的离心率;
(2)若a>2c时,求椭圆的方程.
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已知是椭圆的左右焦点,点P是椭圆C上的动点.
(1)若椭圆C的离心率为,且的最大值为8,求椭圆C的方程;
(2)若△P为等腰直角三角形,求椭圆C的离心率.
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已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆的离心率为且经过点.M为椭圆上的动点,以M为圆心,M为半径作圆M.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若圆M与y轴有两个交点,求点M横坐标的取值范围;
(3)是否存在定圆N,使得圆N与圆M相切?若存在.求出圆N的方程;若不存在,说明理由.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)若直线l不过点M,求证:直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.
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椭圆的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,倾斜角为45°的直线l过点F.
(1)求该椭圆的方程;
(2)设椭圆的另一个焦点为,问抛物线y2=4x上是否存在一点M,使得M与关于直线l对称,若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由.
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