已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为，，且．（1）求椭圆E的方程；（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且M⊥N，则以MN为直径的圆

题型：安徽省月考题难度：来源：

已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为，，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且M⊥N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．

答案

解：（1）设点，的坐标分别为（﹣c，0），（c，0）（c＞0），
则，
故，解得c=4，
所以，
所以，
所以椭圆E的方程为．    
（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），
则，
因为，
所以，即mn=﹣9，
又因为圆C的圆心为，半径为，
所以圆C的方程为，
即（x﹣5）²+y²﹣（m+n）y+mn=0，即（x﹣5）²+y²﹣（m+n）y﹣9=0，
令y=0，可得x=8或2，
所以圆C必过定点（8，0）和（2，0）．