如图，动圆，1＜t＜3与椭圆C2：相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点。（1）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面

题型：高考真题难度：来源：

如图，动圆，1＜t＜3与椭圆C₂：相交于A，B，C，D四点，点A₁，A₂分别为C₂的左，右顶点。
（1）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
（2）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程。

答案

解：（1）设A（x₀，y₀），则矩形ABCD的面积S=4|x₀||y₀|
由得，
从而==
∴，时，S_max=6
∴t=时，矩形ABCD的面积取得最大值，最大面积为6；
（2）由A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），A₁（-3，0），A₂（3，0），知直线AA₁的方程为①
直线A₂B方程为②
由①②可得：③
∴④
∴④代入③可得（x＜-3，y＜0）
直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程（x＜-3，y＜0）。