已知可行域的外接圆C与x轴交于点A1、A2，椭圆C1以线段A1A2为长轴，离心率．（1）求圆C及椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A

题型：期末题难度：来源：

已知可行域的外接圆C与x轴交于点A₁、A₂，椭圆C₁以线段A₁A₂为长轴，离心率．
（1）求圆C及椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的右焦点为F，点P为圆C上异于A₁、A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．

答案

解：（1）：解方程组 ，得：y=0，x=﹣2，
  ，得：y=0，x=2，
 ，得：y= ，x=1，
∴可行域y的三个顶点分别为：（﹣2，0），（2，0），（1， ），
设圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，得到方程组： ，
解得：D=0，E=0，F=﹣4，
∴圆C的方程为：x²+y²=4，
圆与X轴的交点A₁（﹣2，0），A₂（2，0），
设椭圆C₁的方程的方程为：  ，（a＞b＞0）
则有 ，
∴椭圆方程为： 
（2）设p（x₀，y₀），（x₀≠±2），
∴当x₀= 时，P（2， ），  ，k_Op·k_PQ=﹣1，
当 时， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴K_OP·K_PQ=﹣1，故相切．