已知椭圆的右焦点为F(1,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△OMF是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F

已知椭圆的右焦点为F(1,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△OMF是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F

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已知椭圆的右焦点为F(1,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△OMF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F为△PQM的垂心(垂心:三角形三边高线的交点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案
解:(Ⅰ)由△OMF是等腰直角三角形,得b=1,a=,b=
故椭圆方程为.                       
(Ⅱ)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F为△PQM的垂心,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
因为M(0,1),F(1,0),
所以kPQ=1.                    
于是设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程,
消元可得3x2+4mx+2m2﹣2=0.
由△>0,得m2<3,且x1+x2=﹣,x1x2=.    
由题意应有
所以x1(x2﹣1)+y2(y1﹣1)=0,
所以2x1x2+(x1+x2)(m﹣1)+m2﹣m=0.
整理得2×(m﹣1)+m2﹣m=0.
解得m=﹣或m=1.                              
经检验,当m=1时,△PQM不存在,故舍去.
当m=﹣时,所求直线l存在,且直线l的方程为y=x﹣
举一反三
如图,在△ABC中,,以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右顶点作直线l与圆E:(x﹣1)2+y2=2相交于M、N两点,试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1:3的两段弧吗?若能,求出直线l的方程;若不能,请说明理由.
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已知椭圆的离心率.直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A,B,且△ABC的面积为,求圆C的标准方程.
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已知可行域的外接圆C与x轴交于点A1、A2,椭圆C1以线段A1A2为长轴,离心率
(1)求圆C及椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的右焦点为F,点P为圆C上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系,并给出证明.
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已知椭圆E:(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为,且
(1)求椭圆E的方程;
(2)若M,N是直线x=5上的两个动点,且M⊥N,则以MN为直径的圆C是否过定点?请说明理由.
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已知椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)与圆x2+y2=4c2只有两个公共点,其中c是该椭圆的半焦距,椭圆上的点到直线x﹣y﹣c=0距离的最大值为
(1)求椭圆的离心率;
(2)若a>2c时,求椭圆的方程.
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