已知椭圆方程为（a＞b＞0），它的一个顶点为M（0，1），离心率e=，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△A

题型：山西省模拟题难度：来源：

已知椭圆方程为（a＞b＞0），它的一个顶点为M（0，1），离心率e=，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

答案

解：（Ⅰ）依题意，得，
解得，
∴椭圆方程为；
（Ⅱ）①当AB⊥x轴时，；
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知，得，
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴；
当k≠0时，
|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²


，
当且仅当，即时等号成立，此时|AB|=2；
当k=0时，；
综上所述|AB|_max=2，
此时△AOB面积取最大值。