如图,椭圆C:焦点在x轴上,左、右顶点分别为A1,A,上顶点为B,抛物线C1,C2分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C1与C2相交于直线上一点P。(1)
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如图,椭圆C:焦点在x轴上,左、右顶点分别为A1,A,上顶点为B,抛物线C1,C2分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C1与C2相交于直线上一点P。(1)
题型:山东省模拟题
难度:
来源:
如图,椭圆C:
焦点在x轴上,左、右顶点分别为A
1
,A,上顶点为B,抛物线C
1
,C
2
分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C
1
与C
2
相交于直线
上一点P。
(1)求椭圆C及抛物线C
1
,C
2
的方程;
(2)若动直线l与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同两点M,N,已知点
,求
的最小值。
答案
解:(1)由题意,A(a,0),
,
故抛物线C
1
的方程可设为y
2
=4ax,C
2
的方程为
由
,得a=4,
所以椭圆C:
,
抛物线C
1
:y
2
=16x,抛物线C
2
:
。
(2)由(1)知,直线OP的斜率为
所以直线l的斜率为
设直线l方程为
由
消去y,整理得
因为动直线l与椭圆C交于不同两点,
所以Δ=128b
2
-20(8b
2
-16)>0,
解得
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
则
因为
所以
因为
,
所以当
时,
取得最小值,
其最小值等于
。
举一反三
已知A,B,C是椭圆m:
(a>b>0)上的三点,其中点A的坐标为(2
,0),BC过椭圆m的中心,且
,
(Ⅰ)求椭圆m的方程;
(Ⅱ)过点M(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,设D为椭圆m与y轴负半轴的交点,且
,求实数t的取值范围。
题型:专项题
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为A(-3,0),B(3,0),△ABC的周长为16,
(Ⅰ)求顶点C的轨迹方程;
(Ⅱ)过点A作直线,与(Ⅰ)中的曲线交于M,N两点,试判断
是否存在最小值,若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由。
题型:山西省模拟题
难度:
|
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已知椭圆C的两焦点为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),并且经过点
。
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆O:x
2
+y
2
=1,直线l:mx+ny=1,证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围。
题型:广东省模拟题
难度:
|
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已知直线L:x=my+1(m≠0)过椭圆C:
的右焦点F,且交椭圆C于A,B两点。(1)若抛物线x
2
=4y的焦点为椭圆C的上顶点,求椭圆C的方程;
(2)对于(1)中的椭圆C,若直线L交y轴于点M,且
,当m变化时,求λ
1
+λ
2
的值。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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已知椭圆C:
(a>b>0)的左右焦点分别是F
1
(-c,0),F
2
(c,0),动直线l:x=my+c与椭圆C交于两点M,N,当
时,M是椭圆C的上顶点,且△MF
1
F
2
的周长为6。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左顶点为A,直线AM,AN与直线:x=4分别相交于点P,Q,问当m变化时,以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由。
题型:江西省模拟题
难度:
|
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