已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点在椭圆C上,抛物线E以椭圆C的中心为顶点,F2为焦点。(1)求椭圆C的方程;(2)直线l过点F2,
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已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点在椭圆C上,抛物线E以椭圆C的中心为顶点,F2为焦点。(1)求椭圆C的方程;(2)直线l过点F2,
题型:专项题
难度:
来源:
已知椭圆C的两个焦点分别为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),点在椭圆C上,抛物线E以椭圆C的中心为顶点,F
2
为焦点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l过点F
2
,且交y轴于D点,交抛物线E于A,B两点,
①若F
1
B⊥F
2
B,求|AF
2
|-|BF
2
|的值;
②试探究:线段AB与F
2
D的长度能否相等?如果|AB|=|F
2
D|,求直线l的方程。
答案
解:(1)由题意,设椭圆C的方程为:
∴
=4
∴a=2
又c=1
∴
故椭圆C的方程为:
。
(2)由题意可得,抛物线E:y
2
=4x,
设l:y=k(x-1)(k≠0),
联立方程组
消去y得:k
2
x
2
-2(k
2
+2)x+k
2
=0,
Δ=16(k
2
+1)>0恒成立
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
,x
1
·x
2
=1
①∵
又
,
∴
∴x
1
-x
2
=4,
|AF
2
|-|BF
2
|=x
1
-x
2
=4。
②假设|AB|=|F
2
D|
因为直线l过点F
2
,
所以
又D(0,-k),F
2
(1,0)
∴
由|AB|=|F
2
D|
∴
∴k
4
-16k
2
-16=0,
所以
(负值舍去),
从而
,
所以当l的方程为
时有|AB|=|F
2
D|。
举一反三
设点M(x,y)到直线x=4的距离与它到定点(1,0)的距离之比为2,并记点M的轨迹曲线为C,
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设过定点(0,2)的直线l与曲线C交于不同的两点E,F,且∠EOF=90°(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的值;
(Ⅲ)设A(2,0),B(0,
)是曲线C的两个顶点,直线y=mx(m>0)与线段AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点,求四边形AEBF面积的最大值。
题型:河南省模拟题
难度:
|
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已知椭圆方程为
(a>b>0),它的一个顶点为M(0,1),离心率e=
,
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为
,求△AOB面积的最大值。
题型:山西省模拟题
难度:
|
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如图,椭圆C:
焦点在x轴上,左、右顶点分别为A
1
,A,上顶点为B,抛物线C
1
,C
2
分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C
1
与C
2
相交于直线
上一点P。
(1)求椭圆C及抛物线C
1
,C
2
的方程;
(2)若动直线l与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同两点M,N,已知点
,求
的最小值。
题型:山东省模拟题
难度:
|
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已知A,B,C是椭圆m:
(a>b>0)上的三点,其中点A的坐标为(2
,0),BC过椭圆m的中心,且
,
(Ⅰ)求椭圆m的方程;
(Ⅱ)过点M(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,设D为椭圆m与y轴负半轴的交点,且
,求实数t的取值范围。
题型:专项题
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为A(-3,0),B(3,0),△ABC的周长为16,
(Ⅰ)求顶点C的轨迹方程;
(Ⅱ)过点A作直线,与(Ⅰ)中的曲线交于M,N两点,试判断
是否存在最小值,若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由。
题型:山西省模拟题
难度:
|
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