已知椭圆的中心在原点O，离心率，短轴的一个端点为（0，），点M为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线l交椭圆于A，B两点。（1）求椭圆的方程；（2）

题型：北京模拟题难度：来源：

已知椭圆的中心在原点O，离心率，短轴的一个端点为（0，），点M为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线l交椭圆于A，B两点。
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

答案

解：（1）设椭圆方程为（a>b>0）
则
解得
所以椭圆的方程为。
（2）由题意M（2，1），设直线l的方程为
由可得x²+2mx+2m²-4=0
设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
由x²+2mx+2m²-4=0，
可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4






=0
即k₁+k₂=0
故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形。