已知椭圆C的中心在原点,F1、F2分别为它的左、右焦点,直线x=4为它的一条准线,又知椭圆C上存在点M,使得,(1)求椭圆C的方程;(2)若PQ为过椭圆焦点F2

已知椭圆C的中心在原点,F1、F2分别为它的左、右焦点,直线x=4为它的一条准线,又知椭圆C上存在点M,使得,(1)求椭圆C的方程;(2)若PQ为过椭圆焦点F2

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已知椭圆C的中心在原点,F1、F2分别为它的左、右焦点,直线x=4为它的一条准线,又知椭圆C上存在点M,使得
(1)求椭圆C的方程;
(2)若PQ为过椭圆焦点F2的弦,且,求△PF1Q的内切圆面积最大时实数λ的值.
答案
解:(1)据题意,设椭圆C的方程为
∵直线x=4为椭圆C的准线,


∴M为椭圆C短轴上的顶点,


∴∠F1MF2=60°,则△F1MF2为等边三角形,
, 故a2=4c=2a,
∴a=2,c=1,
∴b2=a2-c2=22-12=3,
∴椭圆C的方程为
(2)显然直线PQ不与x轴重合,当PQ与x轴垂直,
即直线PQ斜率不存在时,

当直线PQ斜率存在时,设它的斜率为k,则直线PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入椭圆C的方程,消去x并整理得:(4k2+3)y2+6ky-9k2=0,
Δ=36k2+36k2(4k2+3)>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

设4k2+3=t,则t>3,此时
又∵F1到直线PQ的距离


∴0<<3,
综上,直线PQ与x轴垂直时,△PF1Q的面积最大,且最大面积为3,
设△PF1Q的内切圆半径为r,
=4r,
,即时,△PF1Q的内切圆面积最大,
此时直线PQ的斜率不存在,直线PQ与x轴垂直,
,即λ=1。
举一反三
椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,短轴长为,离心率为,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且
(1)求椭圆方程;
(2)求m的取值范围。
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设椭圆(a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),直线l:x=a2交x轴于点A,且
(1)试求椭圆的方程;
(2)过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、 E、M、N四点(如图所示),试求四边形DMEN面积的最大值和最小值。
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在直角坐标系xOy中,椭圆C1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=
(1)求椭圆C1的方程;
(2)平面上的点N满足,直线l∥MN,且与C1交于A,B两点,若,求直线l的方程.
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已知点P是⊙O:x2+y2=9上的任意一点,过P作PD垂直于x轴于D,动点Q满足
(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)已知点E(1,1),在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M,N,使(O是坐标原点)?若存在,求出直线MN的方程;若不存在,请说明理由.
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某公园的大型中心花园的边界为椭圆,花园内种植各种花草,为增强观赏性,在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草,并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度),某园林公司承接了该中心花园的施工建设,在施工时发现,椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4(单位:百米),且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位:百米),
(1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系,求出该椭圆的标准方程;
(2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值。
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