解:(1)设椭圆C的方程为
∵长轴长是短轴长的倍
∴椭圆方程为
∵在椭圆C上
∴椭圆C的方程为。
(2)①当切线l的斜率不存在时切线方程为
与椭圆的两个交点为或
满足
当切线l斜率存在时,可设l的方程为y=kx+m
解方程组
得x2+2(kx+m)2=8,
即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8 =0,
则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8) =8(8k2-m2+4)>0,
即8k2-m2+4>0
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=
∵l与圆相切
∴
∴3m2=8k2+8
∴=
∴OA⊥OB。
②由①可知(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=
=
当k≠0时,|AB|=
因为
所以
所以
所以
当且仅当时取“=”,
当k=0时,
当AB的斜率不存在时,两个交点为或
所以此时
综上,|AB|的取值范围为
即。
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