解:(1)由A1、A2分别为双曲线的左、右顶点知
两式相乘得
∵点P(x1,y1)在双曲线上 ∴ 即 ∴ ∴ 即直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为。 (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B,且,又设该圆的切线方程为y=kx+m 由 消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, 则Δ=16k2m2-4(1+2k2 )(2m2-2)=8(2k2-m2+1)>0, 即2k2-m2+1>0 设A(x1",y1"),B(x2,y2) 则 ∴ y1"y2=k2x1"x2+km(x1′+x2)+m2=
要使 需使x1′x2+y1′y2=0 即 ∴ 又2k2-m2+1>0,解得或 ∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线 ∴圆的半径为
所求的圆为 此时圆的切线y=kx+m都满足或 而当切线的斜率不存在时,切线为 与椭圆的两个交点为或满足 综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B,且。 |