解:(1)设点H的坐标为(x0,y0),则x+y=4, 由题意可知y0≠0,且以H为切点的圆的切线的斜率为:- , 故切线方程为:y-y0=- (x-x0), 展开得x0x+y0y=x02+y02=4, 即以H为切点的圆的切线方程为:x0x+y0y=4, ∵A(-2,0),B(2,0), 将x=±2代入上述方程可得点C,D的坐标分别为C(-2, ),D(2, ), 则lAD: ,①, 及lBC: ,② 将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为:x2+4y2=4,即 +y2=1。 (2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F( ,0), (ⅰ)当直线l的斜率为0时,M、N、P三点在x轴上, 不妨设M(2,0),N(-2,0),且P(0,0), 此时有|PM|=2,|MF|=2- ,|PN|=2,|NF|=2+ , 所以λ1+λ2= ; (ⅱ)当直线l的斜率不为0时,设直线MN的方程是:x=my+ (m≠0), 则点P的坐标为(0,- ), 且设点M(x1,y1),N(x2,y2), 联立 消去x可得:(m2+4)y2+2 my-1=0, 则y1+y2= ,y1y2= , λ1+λ2= =-8(定值). |