设椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4。（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对

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设椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4。
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上一动点P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为P₁ （x₁，y₁），求3x₁-4y₁的取值范围.

答案

解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2
∵
∴，
∴所求椭圆C的方程为。
（2）∵点P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为P₁（x₁，y₁）
∴
解得：
∴3x₁-4y₁=-5x₀
∵点P（x₀，y₀）在椭圆C：上
∴-2≤x₀≤2，则-10≤-5x₀≤10
∴3x₁-4y₁的取值范围为[-10，10]。