设椭圆C:的离心率e=,右焦点到直线的距离,O为坐标原点, (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直

设椭圆C:的离心率e=,右焦点到直线的距离,O为坐标原点, (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直

题型:0107 模拟题难度:来源:
设椭圆C:的离心率e=,右焦点到直线的距离,O为坐标原点,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值。
答案
解:(Ⅰ)由,即a=2c,∴
由右焦点到直线的距离为,得:,解得
所以椭圆C的方程为
(Ⅱ)设,直线AB的方程为y=kx+m,
与椭圆联立消去y得

∵OA⊥OB,∴


,整理得
所以O到直线AB的距离
∵OA⊥OB,
,当且仅当OA=OB时取“=”号。

,即弦AB的长度的最小值是
举一反三
已知椭圆C1的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切,
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(3)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.
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已知椭圆C:的一个焦点坐标为(1,0),且长轴长是短轴长的倍,
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A,B,线段AB的中点为P,若直线OP的斜率为-1,求△OAB的面积.
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点,则椭圆C的方程是(    )。
题型:湖南省模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆的离心率为
(1)若原点到直线x+y-b=0的距离为,求椭圆的方程;
(2)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A、B两点,
①当|AB|=时,求b的值;
②对于椭圆上任一点M,若,求实数λ、μ满足的关系式。
题型:湖南省模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆的方程为,它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,离心率e=,过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l,交椭圆于A、B两点,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点M(1,0),且,求直线l的方程。
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