已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点

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已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案
解:(Ⅰ)依题意,可设椭圆C的方程为(a>b>0),
且可知左焦点为F′(-2,0),从而有
解得
又a2=b2+c2,所以b2=12,
故椭圆C的方程为
(Ⅱ)假设存在符合题意的直线l,其方程为
得3x2+3tx+t2-12=0,
因为直线l与椭圆C有公共点,所以△=(3t)2-4×3(t2-12)≥0,
解得
另一方面,由直线OA与l的距离d=4可得
从而
由于
所以符合题意的直线l不存在。
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M、N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
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已知椭圆的离心率,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
 (1)求椭圆的方程;
 (2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且,求y0的值。
题型:天津高考真题难度:| 查看答案
已知椭圆C1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1。
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M、N。当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值。
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如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(+1)。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D,
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明:k1·k2=1;
(Ⅲ)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
题型:山东省高考真题难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1。
 (1)求椭圆C的标准方程;
 (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。
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