已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1。 (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交
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已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1。 (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交
题型:山东省高考真题
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来源:
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。
答案
解:(1)由题意设椭圆的标准方程为
由已知得a+c=3,a-c=1,
∴a=2,c=1,
∴b
2
=a
2
-c
2
=3
∴椭圆的标准方程为
。
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),联立
得
又
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)
∴
∴
∴
解得m
1
=-2k,
且均满足3+4k
2
-m
2
>0
当m
1
=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;
当
时,l的方程为
直线过定点
所以,直线l过定点,定点坐标为
。
举一反三
如图,在直角坐标系中,中心在原点,焦点在x轴上的椭圆G的离心率为
,左顶点A(-4,0),圆O′:(x-2)
2
+y
2
=r
2
是椭圆G的内接△ABC的内切圆。
(1)求椭圆G的方程;
(2)求圆O′的半径;
(3)过M(0,1)作圆O′的两条切线交椭圆于E,F,判断直线EF与圆的位置关系,并证明。
题型:0103 模拟题
难度:
|
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已知椭圆的两个焦点F
1
(-
,0),F
2
(
,0),且椭圆短轴的两个端点与F
2
构成正三角形。
(1)求椭圆的方程;
(2)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,若在x轴上存在定点E(m,0),使
恒为定值,求m的值。
题型:0103 模拟题
难度:
|
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已知椭圆长轴端点为A、B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且
,
,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P、Q两点,问:是否存在直线l,使点F恰好为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
题型:山西省模拟题
难度:
|
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设椭圆C
1
:
(a>b>0)的左、右焦点分别是F
1
、F
2
,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图,若抛物线C
2
:y=x
2
-1与y轴的交点为B,且经过F
1
,F
2
点。
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)设M(0,-
),N为抛物线C
2
上的一动点,过点N作抛物线C
2
的切线交椭圆C
1
于P、Q两点,求△MPQ面积的最大值。
题型:山西省模拟题
难度:
|
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如图,在由圆O:x
2
+y
2
=1和椭圆C:
构成的“眼形”结构中,已知椭圆的离心率为
,直线l与圆O相切于点M,与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,使得
,若存在,求此时直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:模拟题
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