已知圆O：x2+y2=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线：x=-4为准线的椭圆。（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M是直线上的任意一点，以OM为直径

题型：0103 期末题难度：来源：

已知圆O：x²+y²=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线：x=-4为准线的椭圆。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M是直线上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且，试求此时弦PQ的长。

答案

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，
则：，从而：，故b=2，
所以椭圆的标准方程为。
（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K的方程为与圆O：联立消去得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）。
（Ⅲ）设，则，………①
，
∴，即：，
代入①解得：（舍去正值），
∴，所以PQ：x-y+2=0，
从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离，
从而。