(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c(c>0),依题意解得c=. 由a2=b2+c2,得b=1. ∴所求椭圆方程为+y2=1
(Ⅱ)∵m=1,∴y=kx+1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程消去y并整理得(1+3k2)x2+6kx=0&, 则△=(6k)2-4(1+3k2)×0>0&,解得k≠0. 故x1+x2=,x1•x2=0. ∵•=0,∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)•(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 =(1+k2)×0+k•+1==0∴k=±. (Ⅲ)由已知=,可得m2=(k2+1). 将y=kx+m代入椭圆方程,整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0. △=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0(*) ∴x1+x2=,x1•x2=. ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[-] =12(k2+1)(3k2+1-m2) | (3k2+1)2 | = =3+=3+≤3+=4(k≠0). 当且仅当9k2=,即k=±时等号成立. 经检验,k=±满足(*)式. 当k=0时,|AB|=. 综上可知|AB|max=2.∴当|AB|最大时,△AOB的面积取最大值S=×2×=. |