已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．（Ⅰ）求 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，求证k₁+k₂=0．

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
则

a=2b

4

a2

+

1

b2

=1

解得a²=8，b²=2
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

1
（2）∵直线l平行与OM，且在一轴上的截距为m，由k_OM=

1

2

∴l的方程为y=

1

2

x+m
由直线方程与椭圆方程联立消去y得x²+2mx+2m²-4=0
∵直线l与椭圆交与A，B两个不同点
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0
解得-2＜m＜2，且m≠0
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²+2mx+2m²-4=0可得
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
则k₁=

y1-1

x1-2

，k₂=

y2-1

x 2 -2

而k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x 2 -2

=

(

1

2

x1+m-1)(x2-2)+(

1

2

x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0
∴k₁+k₂=0，
故得证．

椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（　　）

题型：南汇区二模难度：| 查看答案

A．4a

B．2（a-c）

C．2（a+c）

D．以上答案均有可能

已知点P是椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（xy≠0）上的动点，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且 $数学公式$ $数学公式$ =0，则|OM|的取值范围是（　　）

题型：不详难度：| 查看答案

A．（0，3）

B．（2

，3）

C．（0，4）

D．（0，2 $数学公式$ ）

设F₁，F₂分别是椭圆E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F₁的直线l与E相交于A、B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．魔方格

已知椭圆

（a＞b＞0）的左、右准线分别为l₁、l₂，且分别交x轴于C、D两点，从l₁上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l₂交于点B，若AF⊥BF，且∠ABD=75°，则椭圆的离心率等于（　　）

题型：不详难度：| 查看答案