已知离心率为63的椭圆C:x2a 2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(3,1).(1)求椭圆C的方程;(2)过左焦点F1且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、
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已知离心率为63的椭圆C:x2a 2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(3,1).(1)求椭圆C的方程;(2)过左焦点F1且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、
题型:不详
难度:
来源:
已知离心率为
6
3
的椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)经过点
P(
3
,1)
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点F
1
且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、N两点,若
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
(O为坐标原点),求直线l的方程.
答案
(1)依题意,离心率为
6
3
的椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)经过点
P(
3
,1)
.
∴
3
a
2
+
1
b
2
=1
,且
e
2
=
c
2
a
2
=
a
2
-
b
2
a
2
=
2
3
解得:a
2
=6,b
2
=2
故椭圆方程为
x
2
6
+
y
2
2
=1
…(4分)
(2)椭圆的左焦点为F
1
(-2,0),则直线l的方程可设为y=k(x+2)
代入椭圆方程得:(3k
2
+1)x
2
+12k
2
x+12k
2
-6=0
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),∴
x
1
+
x
2
=-
12
k
2
3
k
2
+1
,
x
1
•
x
2
=
12
k
2
-6
3
k
2
+1
…(6分)
由
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
得:
|
OM
|•|
ON
|sin∠MON=
4
3
6
,
∴
S
△OMN
=
2
3
6
…(9分)
又
|MN|=
1+
k
2
|
x
1
-
x
2
|=
2
6
(1+
k
2
)
3
k
2
+1
,原点O到l的距离
d=
|2k|
1+
k
2
,
则
S
△OMN
=
1
2
|MN|d
=
6
(1+
k
2
)
3
k
2
+1
•
|2k|
1+
k
2
=
2
3
6
解得
k=±
3
3
∴l的方程是
y=±
3
3
(x+2)
…(13分)
(用其他方法解答参照给分)
举一反三
已知椭圆
x2
16
+
y2
4
=1的左右焦点分别为F
1
与F
2
,点P在直线l:x-
3
y+8+2
3
=0上.当∠F
1
PF
2
取最大值时,
|PF1|
|PF2|
的比值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),l交椭圆于A、B两个不同点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)设直线MA、MB的斜率分别为k
1
,k
2
,求证k
1
+k
2
=0.
题型:不详
难度:
|
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椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是( )
A.4a
B.2(a-c)
C.2(a+c)
D.以上答案均有可能
题型:南汇区二模
难度:
|
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已知点P是椭圆
+
=1(xy≠0)上的动点,F
1
、F
2
为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M是∠F
1
PF
2
的角平分线上的一点,且
=0,则|OM|的取值范围是( )
A.(0,3)
B.(2
,3)
C.(0,4)
D.(0,2
)
题型:不详
难度:
|
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设F
1
,F
2
分别是椭圆E:x
2
+
y
2
b
2
=1(0<b<1)的左、右焦点,过F
1
的直线l与E相交于A、B两点,且|AF
2
|,|AB|,|BF
2
|成等差数列.
(Ⅰ)求|AB|;
(Ⅱ)若直线l的斜率为1,求b的值.
题型:不详
难度:
|
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