已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交
题型:云南省月考题
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来源:
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点,离心率等于
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若
,
,求证:λ
1
+λ
2
为定值.
答案
解:(1)设椭圆C的方程为
,
则由题意知b=1.
∴
.
∴a
2
=5
∴椭圆C的方程为
.
(2)设A、B、M点的坐标分别为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),M(0,y
0
).
又易知F点的坐标为(2,0).
显然直线l存在的斜率,
设直线l的斜率为k,则直线l的方程是y=k(x﹣2).
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中,消去y并整理得
(1+5k
2
)x
2
﹣20k
2
x+20k
2
﹣5=0.
∴
.
又∵
.∴
.
举一反三
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,离心率
,且经过抛物线x
2
=4y的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(0,﹣2)的直线l(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点E,F(E在B,F之间),△OBE与△OBF面积之比为λ,求λ的取值范围.
题型:新疆维吾尔自治区期末题
难度:
|
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设
、A
2
与B分别是椭圆E:
的左右顶点与上定点,直线A
2
B与
圆C:x
2
+y
2
=1相切.
(1)求证:
;
(2)P是椭圆E上异于
、A
2
的一点,直线P
、PA
2
的斜率之积为﹣
,求椭圆E的方程;
(3)直线l与椭圆E交于M、N两点,且
,试判断直线l与圆C的位置关系,并说明理由.
题型:江苏省期末题
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过(0,1),(1,
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:3x﹣3y﹣1=0交椭圆C与A、B两点,若T(0,1)求证:
.
题型:山东省期末题
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过(0,1),(1,
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:3x﹣3y﹣1=0交椭圆C与A、B两点,若T(0,1)求证:
.
题型:山东省期末题
难度:
|
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设椭圆E:
的上焦点是F
1
,过点P(3,4)和F
1
作直线PF
1
交椭圆于A、B两点,已知A(
).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设点C是椭圆E上到直线PF
1
距离最远的点,求C点的坐标.
题型:山东省期末题
难度:
|
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