设椭圆C1:的左、右焦点分别是F1、F2,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C2:y=x2﹣1与y轴的交点为B,且经过F1,F2点.

设椭圆C1:的左、右焦点分别是F1、F2,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C2:y=x2﹣1与y轴的交点为B,且经过F1,F2点.

题型:山西省月考题难度:来源:
设椭圆C1的左、右焦点分别是F1、F2,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C2:y=x2﹣1与y轴的交点为B,且经过F1,F2点.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)设M(0,),N为抛物线C2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点,求△MPQ面积的最大值.
答案
解:(Ⅰ)由题意可知B(0,﹣1),则A(0,﹣2),故b=2.
令y=0得x2﹣1=0即x=±1,
则F1(﹣1,0),F2(1,0),故c=1.
所以a2=b2+c2=5.
于是椭圆C1的方程为:
(Ⅱ)设N(t,t2﹣1),
由于y"=2x知直线PQ的方程为:y﹣(t2﹣1)=2t(x﹣t).
即y=2tx﹣t2﹣1.
代入椭圆方程整理得:4(1+5t2)x2﹣20t(t2+1)x+5(t2+1)2﹣20=0,
△=400t2(t2+1)2﹣80(1+5t2)[(t2+1)2﹣4]=80(﹣t4+18t2+3),
=
设点M到直线PQ的距离为d,则
所以,△MPQ的面积S==
==
当t=±3时取到“=”,经检验此时△>0,满足题意.
综上可知,△MPQ的面积的最大值为
举一反三
设椭圆C1的左、右焦点分别是F1、F2,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C2:y=x2﹣1与y轴的交点为B,且经过F1,F2点.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)设M(0,),N为抛物线C2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点,求△MPQ面积的最大值.
题型:山西省月考题难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若,求证:λ12为定值.
题型:云南省月考题难度:| 查看答案
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,离心率,且经过抛物线x2=4y的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(0,﹣2)的直线l(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点E,F(E在B,F之间),△OBE与△OBF面积之比为λ,求λ的取值范围.
题型:新疆维吾尔自治区期末题难度:| 查看答案
、A2与B分别是椭圆E:的左右顶点与上定点,直线A2B与
圆C:x2+y2=1相切.
(1)求证:
(2)P是椭圆E上异于、A2 的一点,直线P、PA2的斜率之积为﹣,求椭圆E的方程;
(3)直线l与椭圆E交于M、N两点,且,试判断直线l与圆C的位置关系,并说明理由.
题型:江苏省期末题难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过(0,1),(1,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:3x﹣3y﹣1=0交椭圆C与A、B两点,若T(0,1)求证:
题型:山东省期末题难度:| 查看答案
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