已知椭圆E:(a>b>0)的右焦点为F(c,0),离心率为,A(﹣a,0),B(0,b),且△ABF的面积为,设斜率为k的直线过点F,且与椭圆E相交于M、N两点
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已知椭圆E:(a>b>0)的右焦点为F(c,0),离心率为,A(﹣a,0),B(0,b),且△ABF的面积为,设斜率为k的直线过点F,且与椭圆E相交于M、N两点
题型:江西省同步题
难度:
来源:
已知椭圆E:
(a>b>0)的右焦点为F(c,0),离心率为
,A(﹣a,0),
B(0,b),且△ABF的面积为
,设斜率为k的直线过点F,且与椭圆E相交于M、N两点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若
≤
·
≤
,求k的取值范围.
答案
解:(Ⅰ)∵离心率为
,
∴a=2c,b=
c.
∵△ABF的面积为
,
∴
,
∴c=1
∴a=2,
∴
∴椭圆E的方程为
;
(Ⅱ)斜率为k的直线过点F,
设方程为y=k(x﹣1)与
联立,
消元可得(3+4k
2
)x
2
﹣8k
2
x+4k
2
﹣12=0
设M(
,
),N(x
2
,y
2
),
则
+x
2
=
,
∴
y
2
=k
2
(
﹣1)(x
2
﹣1)=
∴
=
x
2
+2(
+x
2
)+4+
y
2
=
∵
≤
≤
,
∴
≤
≤
∴
∴
或
∴k的取值范围是
.
举一反三
已知抛物线C
1
:y
2
=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C
2
:
的上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x
2
+y
2
=1上.
(1)求抛物线C
1
和椭圆C
2
的标准方程;
(2)过点F的直线交抛物线C
1
于A、B两不同点,交y轴于点N,已知
,求证:λ
1
+λ
2
为定值.
(3)直线l交椭圆C
2
于P、Q两不同点,P、Q在x轴的射影分别为P"、Q",
,若点S满足:
,证明:点S在椭圆C
2
上.
题型:河南省月考题
难度:
|
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设椭圆C
1
:
的左、右焦点分别是F
1
、F
2
,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C
2
:y=x
2
﹣1与y轴的交点为B,且经过F
1
,F
2
点.
(Ⅰ)求椭圆C
1
的方程;
(Ⅱ)设M(0,
),N为抛物线C
2
上的一动点,过点N作抛物线C
2
的切线交椭圆C
1
于P、Q两点,求△MPQ面积的最大值.
题型:山西省月考题
难度:
|
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设椭圆C
1
:
的左、右焦点分别是F
1
、F
2
,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C
2
:y=x
2
﹣1与y轴的交点为B,且经过F
1
,F
2
点.
(Ⅰ)求椭圆C
1
的方程;
(Ⅱ)设M(0,
),N为抛物线C
2
上的一动点,过点N作抛物线C
2
的切线交椭圆C
1
于P、Q两点,求△MPQ面积的最大值.
题型:山西省月考题
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点,离心率等于
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若
,
,求证:λ
1
+λ
2
为定值.
题型:云南省月考题
难度:
|
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已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,离心率
,且经过抛物线x
2
=4y的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(0,﹣2)的直线l(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点E,F(E在B,F之间),△OBE与△OBF面积之比为λ,求λ的取值范围.
题型:新疆维吾尔自治区期末题
难度:
|
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