解:(1)由题设知a2=b2+c2,e=, 由点(1,e)在椭圆上,得, ∴b=1,c2=a2-1 由点(e,)在椭圆上,得 ∴, ∴a2=2 ∴椭圆的方程为。 (2)解:由(1)得F1(-1,0),F2(1,0), 又∵直线AF1与直线BF2平行, ∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0, ∴由,可得(m2+2)-2my1-1=0 ∴, ∴|AF1|=① 同理|BF2|=② (i)由①②得|AF1|-|BF2|=, ∴,解得m2=2 ∵注意到m>0, ∴m= ∴直线AF1的斜率为。 (ii)证明:∵直线AF1与直线BF2平行, ∴,即 由点B在椭圆上知,, ∴ 同理 ∴PF1+PF2== 由①②得,,, ∴PF1+PF2= ∴PF1+PF2是定值。 |