如图已知椭圆(a>b>0)的离心率为,且过点A(0,1).(1)求椭圆的方程;(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证:直线MN恒过定点P(
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如图已知椭圆(a>b>0)的离心率为,且过点A(0,1).(1)求椭圆的方程;(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证:直线MN恒过定点P(
题型:期末题
难度:
来源:
如图已知椭圆
(a>b>0)的离心率为
,且过点A(0,1).
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证:直线MN恒过定点P(0,﹣
).
答案
解:(1)由题意知,e=
,b=1,a
2
﹣c
2
=1,
解得a=2,所以椭圆C的标准方程为
.
(2)设直线l1的方程为y=kx+1,
由方程组
,得(4k
2
+1)x
2
+8kx=0,
解得
,x
2
=0,
所以
,y
M
=
,
同理可得
,
,
=
=
,
=
=
,
M,N,P三点共线,故直线MN恒过定点P(0,﹣
).
举一反三
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的一个顶点为A (2,0),离心率为
,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N。
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为
时,求k的值。
题型:高考真题
难度:
|
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已知圆C的方程为
,过点
作圆C的两条切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆
的右顶点和上顶点。
(1)求椭圆T的方程;
(2)是否存在斜率为
的直线l与曲线T交于P、Q两不同点,使得
(O为坐标原点),若存在,求出直线l的方程,否则,说明理由。
题型:模拟题
难度:
|
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设椭圆
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,上顶点为A,离心率e=
,在x轴负半轴上有一点B,且
。
(1)若过A、B、F
2
三点的圆恰好与直线
相切,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,过右焦点F
2
作斜率为k的直线
与椭圆C交于M、N两点,在x轴上是否存在点p(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,说明理由。
题型:模拟题
难度:
|
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已知椭圆E:
(a>b>0)的右焦点为F(c,0),离心率为
,A(﹣a,0),
B(0,b),且△ABF的面积为
,设斜率为k的直线过点F,且与椭圆E相交于M、N两点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若
≤
·
≤
,求k的取值范围.
题型:江西省同步题
难度:
|
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已知抛物线C
1
:y
2
=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C
2
:
的上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x
2
+y
2
=1上.
(1)求抛物线C
1
和椭圆C
2
的标准方程;
(2)过点F的直线交抛物线C
1
于A、B两不同点,交y轴于点N,已知
,求证:λ
1
+λ
2
为定值.
(3)直线l交椭圆C
2
于P、Q两不同点,P、Q在x轴的射影分别为P"、Q",
,若点S满足:
,证明:点S在椭圆C
2
上.
题型:河南省月考题
难度:
|
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