已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△
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已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△
题型:山东省月考题
难度:
来源:
已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为
,求△AOB面积的最大值.
答案
解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,依题意
∴b=1,
∴所求椭圆方程为
.
(Ⅱ)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
(1)当AB⊥x轴时,
.
(2)当AB与x轴不垂直时,
设直线AB的方程为y=kx+m.
由已知
,得
.
把y=kx+m代入椭圆方程,
整理得(3k
2
+1)x
2
+6kmx+3m
2
﹣3=0,
∴
,
.
∴|AB|
2
=(1+k
2
)(x
2
﹣x
1
)
2
=
=
=
=
=
.
当且仅当
,即
时等号成立.
当k=0时,
,|AB|
max
=2.
∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值
.
举一反三
如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为F
1
,F
2
,线段OF
1
,OF
2
的中点分别为B
1
,B
2
,且△AB
1
B
2
是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B
1
做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB
2
⊥QB
2
,求直线l的方程。
题型:高考真题
难度:
|
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已知椭圆C:
的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.
①若线段AB中点的横坐标为
,求斜率k的值;
②已知点
,求证:
为定值.
题型:期末题
难度:
|
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设A是单位圆x
2
+y
2
=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1)。当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;
(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由。
题型:高考真题
难度:
|
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设F
1
,F
2
是椭圆C:
的左、右焦点,A、B分别为其左顶点和上顶点,△BF
1
F
2
是面积为
的正三角形.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过右焦点F
2
的直线l交椭圆C于M,N两点,直线AM、AN分别与已知直线x=4交于点P和Q,试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系.
题型:期末题
难度:
|
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已知椭圆C:
的长轴长为
,离心率
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点B(2,0)的直线l(斜率不等于零)与椭圆C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),且△OBE与△OBF的面积之比为
,求直线l的方程.
题型:期末题
难度:
|
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