椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求证：；（2）若直线l的斜率为1，

题型：山东省期末题难度：来源：

椭圆的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求证：；
（2）若直线l的斜率为1，且点（0，﹣1）在椭圆C上，求椭圆C的方程．

答案

（1）证明：由题设，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，
所以，．
（2）解：由点（0，﹣1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（﹣c，0），l：x=y﹣c，
代入椭圆C的方程，整理得（a²+1）y ²﹣2cy﹣1=0，（*）    
则
               =，
于是有，
，
故椭圆C的方程为．