已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不

题型：吉林省期末题难度：来源：

已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

答案

解：（1）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，
则解得
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由方程组消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²﹣12=0
由题意：△=（8km）²﹣4（3+4k²）（4m²﹣12）＞0
整理得：3+4k²﹣m²＞0 ①
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则
，
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）
∴（x₁﹣2）（x₂﹣2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（km﹣2）（x₁+x₂）+m²+4=0
也即
整理得：7m²+16mk+4k²=0
解得：m=﹣2k或，均满足①
当m=﹣2k时，直线l的方程为y=kx﹣2k，过定点（2，0），舍去
当时，直线l的方程为，过定点，l过定点，且定点的坐标为．