已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不

已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不

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已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
答案
解:(1)设椭圆的长半轴为a,半焦距为c,
解得
∴椭圆C的标准方程为
(2)由方程组消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0
由题意:△=(8km)2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)>0
整理得:3+4k2﹣m2>0 ①
设M(x1,y1)、N(x2,y2),则

由已知,AM⊥AN,且椭圆的右顶点为A(2,0)
∴(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2=0
即(1+k2)x1x2+(km﹣2)(x1+x2)+m2+4=0
也即
整理得:7m2+16mk+4k2=0
解得:m=﹣2k或,均满足①
当m=﹣2k时,直线l的方程为y=kx﹣2k,过定点(2,0),舍去
时,直线l的方程为,过定点,l过定点,且定点的坐标为
举一反三
已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
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已知焦点在x轴上,中心在坐标原点的椭圆C的离心率为,且过点(,1).
(I)求椭圆C的方程;
(II)直线l分别切椭圆C与圆M:x2+y2=R2(其中3<R<5)于A、B两点,求|AB|的最大值.
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已知F1、F2是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B与点A关于原点对称,AF2﹣F1F2=0,若椭圆的离心率等于
(Ⅰ)求直线AB的方程;
(Ⅱ)若△ABF2的面积等于4,求椭圆的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
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一束光线从点A(﹣1,0)出发,经过直线l:2x﹣y+3=0上的一点D反射后,经过点
B(1,0).
(1)求以A,B为焦点且经过点D的椭圆C的方程;
(2)过点B(1,0)作直线l交椭圆C于P、Q两点,以AP、AQ为邻边作平行四边形APRQ,求对角线AR长度的取值范围.
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已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点,交椭圆于A、B两点,则弦AB的长为(    ).
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