已知椭圆C:的离心率为,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF1为半径作圆M
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已知椭圆C:的离心率为,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF1为半径作圆M
题型:江苏同步题
难度:
来源:
已知椭圆C:
的离心率为
,F
1
、F
2
分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF
1
为半径作圆M,当圆M与椭圆的右准线l有公共点时,求△MF
1
F
2
面积的最大值.
答案
解:(1)因为2c=2,且
,
所以c=1,a=2.
所以b
2
=3.
所以椭圆C的方程为
.
(2)设点M的坐标为(x
0
,y
0
),则
.
因为F
1
(﹣1,0),
,
所以直线l的方程为x=4.
由于圆M与l有公共点,所以M到l的距离4﹣x
0
小于或等于圆的半径R.
因为R
2
=MF
1
2
=(x
0
+1)
2
+y
0
2
,
所以(4﹣x
0
)
2
≤(x
0
+1)
2
+y
0
2
,
即y
0
2
+10x
0
﹣15≥0.
又因为
,
所以
.
解得
.
又
,
∴
当
时,
,
所以
.
举一反三
椭圆C:
的两个焦点为F
1
,F
2
,点P在椭圆C上,且PF
1
⊥F
1
F
2,
|PF
1
|=
,|PF
2
|=
。
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l过圆x
2
+y
2
+4x﹣2y=0的圆心,交椭圆C于A,B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.
题型:江苏期中题
难度:
|
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从椭圆
(a>b>0)上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F
1
,且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM,又Q是椭圆上任一点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求∠F
1
QF
2
的范围;
(3)当QF
2
⊥AB时,延长QF
2
与椭圆交于另一点P,若△F
1
PQ的面积为20
,求椭圆方程.
题型:江苏期中题
难度:
|
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已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,
与a=(3,﹣1)共线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M为椭圆上任意一点,且
,证明λ
2
+μ
2
为定值.
题型:江苏月考题
难度:
|
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已知椭圆的中心在坐标原点O,长轴长为
,离心率
,过右焦点F的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;
(3)若以OP,OQ为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线l的方程.
题型:江西省月考题
难度:
|
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设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)是椭圆
+
=1(a>b>0)的两点,
=(
,
),
=(
,
),且
=0,椭圆离心率e=
,短轴长为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆方程;
(2)若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求k的值;
(3)试问△AOB的面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
题型:江西省月考题
难度:
|
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