设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且离心率,且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点。(1)求椭圆C的方程;(2)是

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且离心率,且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点。(1)求椭圆C的方程;(2)是

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设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且离心率,且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,使得,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。
(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求证:为定值。
答案
解:抛物线的焦点为
∵椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合
∴椭圆的一个顶点为


∴a=2,
∴椭圆的标准方程为
(2)解:由题可知,椭圆的右焦点为(1,0),直线l与椭圆必相交
①当直线斜率不存在时,M(1,),N(1,-),
,不合题意;
②设存在直线l为y=k(x-1)(k≠0),且M(x1,y1),N(x2,y2
得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,


=
所以
故直线l的方程为
(3)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4
由(2)可得:|MN|=
=
消去y,
并整理得:
|AB|=
为定值 。
举一反三
已知椭圆的两个焦点,且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,若在x轴上存在定点E(m,0),使恒为定值,求m的值.
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已知直线y=﹣x+1与椭圆=1(a>b>0)相交于A、B两点.
(1)若椭圆的离心率为,焦距为2,求椭圆的标准方程;
(2)若OA⊥OB(其中O为坐标原点),当椭圆的离率e∈时,求椭圆的长轴长的最大值.
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焦点分别为(0,5)和(0,﹣5)的椭圆截直线y=3x﹣2所得椭圆的弦的中点的横坐标为,求此椭圆方程.
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已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点A(1,),且离心率e=.(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(﹣1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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已知F是椭圆的左焦点,A是椭圆短轴上的一个顶点,椭圆的离心率为,点B在x轴上,AB⊥AF,A,B,F三点确定的圆C恰好与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过F作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于M,N两点,P为线段MN的中点,设O为椭圆中心,射线OP交椭圆于点Q,若,若存在求k的值,若不存在则说明理由.
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