试题分析:(Ⅰ) 由题意得 =,==2,解出a、b 的值,即得椭圆的标准方程. (Ⅱ)设动点P(x,y),M(x1,y1)、N(x2,y2). 由向量间的关系得到 x=x1+2x2,y=y1+2y2,据 M、N是椭圆上的点可得 x2+2y2=20+4(x1x2+2y1y2).再根据直线OM与ON的斜率之积为﹣,得到点P是椭圆 x2+2y2="20" 上的点,根据椭圆的第二定义,存在点F(,0),满足条件. 解:(Ⅰ) 由题意得 =,==2,∴a=2,b=, 故椭圆的标准方程为 +=1. (Ⅱ)设动点P(x,y),M(x1,y1)、N(x2,y2).∵动点P满足:=+2, ∴(x,y)=(x1+2x2,y1+2y2 ),∴x=x1+2x2,y=y1+2y2, ∵M、N是椭圆上的点,∴x12+2y12﹣4=0,x22+2y22﹣4=0. ∴x2+2y2=(x1+2x2)2+2 (y1+2y2)2=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2) =4+4×4+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2). ∵直线OM与ON的斜率之积为﹣,∴•=﹣,∴x2+2y2=20, 故点P是椭圆 ="1" 上的点,焦点F(,0),准线l:x=2,离心率为, 根据椭圆的第二定义,|PF|与点P到直线l:x=2的距离之比为定值, 故存在点F(,0),满足|PF|与点P到直线l:x=2的距离之比为定值. 点评:本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程,两个向量坐标形式的运算,以及椭圆的第二定义,属于中档题. |