已知椭圆：经过点，其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过坐标原点作不与坐标轴重合的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于点，试判断随着的转动

题型：不详难度：来源：

已知椭圆：经过点，其离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过坐标原点作不与坐标轴重合的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于点，试判断随着的转动，直线与的斜率的乘积是否为定值？说明理由．

答案

（1）；（2）直线与的斜率的乘积是定值．

解析

试题分析：（1）由椭圆的离心率可得，又点满足方程可得，可解得，，所以知椭圆的方程；（2）设直线方程是，，，可得，，可得直线方程是，与椭圆方程联立，由韦达定理代入最终可化为．
解：（1）∵，∴，，
∵点在椭圆上，∴，
解得，，∴椭圆的方程是；  
（2）设直线方程是，，，
则，  ，直线的斜率是，
直线方程是，
由，得，
则，
∴，
直线与的斜率的乘积是定值．