试题分析:(1)根据已知分析可得点横坐标为1,纵坐标为,,即点。法一:将代入椭圆方程,结合且,解方程组可得的值。法二:根据椭圆的定义求点到两焦点的距离的和即为,再根据关系式求得。(2)设过点的直线的斜率为,显然(注意讨论直线斜率存在与否)。当直线的斜率不存在时,直线方程为,将代入椭圆方程可得的纵坐标,从而可得,根据椭圆图像的对称性可知,因此可得。当直线斜率存在时设直线的方程为,将直线与椭圆方程联立,消去(或)得关于的一元二次方程,从而可得根与系数的关系。根据弦长公式求,再用点到线的距离公式求点到直线的距离,所以。最后根据基本不等式求其范围即可。 解:(1)因为为的中点,为的中点,, 所以,且. 1分 所以. 因为, 所以. 2分 因为, 3分 所以. 所以椭圆的方程为. 4分 (2)设过点的直线的斜率为,显然. (1)当不存在时,直线的方程为, 所以. 因为, 所以. 5分 (2)当存在时,设直线的方程为. 由,消并整理得: . 6分 设,则 ,. 7分 因为
, 8分 又因为点到直线的距离, 9分 所以
10分 设,则
. 11分 因为, 所以. 因为函数在上单调递增, 12分 所以. 所以. 所以. 所以. 所以 所以. 13分 综合(1)(2)可知 . 14分 |