如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径,、是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.(1)求椭圆的方程;(2)求面积的最大值及取得最大值
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如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径,、是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.(1)求椭圆的方程;(2)求面积的最大值及取得最大值
题型:不详
难度:
来源:
如图,点
是椭圆
的一个顶点,
的长轴是圆
的直径,
、
是过点
且互相垂直的两条直线,其中
交圆
于
、
两点,
交椭圆
于另一点
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)求
面积的最大值及取得最大值时直线
的方程.
答案
(1)
;当直线
的方程为
时,
的面积取最大值
.
解析
试题分析:(1)首先根据题中条件求出
和
的值,进而求出椭圆
的方程;(2)先设直线
的方程为
,先利用弦心距、半径长以及弦长之间满足的关系(勾股定理)求出直线
截圆
所得的弦长
,然后根据直线
与
两者所满足的垂直关系设直线
,将直线
的方程与椭圆的方程联立,求出直线
截椭圆
的弦长
,然后求出
的面积的表达式,并利用基本不等式求出
的面积的最大值,并求出此时直线
的方程.
试题解析:(1)由题意得
,
椭圆
的方程为
;
(2)设
、
、
,
由题意知直线
的斜率存在,不妨设其为
,则直线
的方程为
,
故点
到直线
的距离为
,又圆
,
,
又
,
直线
的方程为
,
由
,消去
,整理得
,
故
,代入
的方程得
,
设
的面积为
,则
,
,
当且仅当
,即
时上式取等号,
当
时,
的面积取得最大值
,
此时直线
的方程为
举一反三
已知中心在坐标原点,焦点在
轴上的椭圆过点
,且它的离心率
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)与圆
相切的直线
交椭圆于
两点,若椭圆上一点
满足
,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知点
是椭圆
上一点,
为椭圆的一个焦点,且
轴,
焦距,则椭圆的离心率是
题型:不详
难度:
|
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若椭圆经过原点,且焦点分别为
则该椭圆的短轴长为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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过椭圆
的右焦点
作相互垂直的两条弦
和
,若
的最小值为
,则椭圆的离心率
( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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与椭圆
有公共焦点,且离心率
的双曲线方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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