试题分析:(1)利用“点代法”求点的坐标关系,在求解过程中证明结论.因为关于点对称,所以,代入椭圆方程得,两式相减得,所以(2)本题实质为“弦中点”问题,设中点为,由“点差法”得又假设为等边三角形时,有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾,所以假设不成立. 试题解析:(1)证明: 因为在椭圆上, 所以 1分 因为关于点对称, 所以, 2分 将代入②得③, 由①和③消解得, 4分 所以. 5分 (2)当直线斜率不存在时,, 可得,不是等边三角形. 6分 当直线斜率存在时,显然斜率不为0. 设直线:,中点为, 联立消去得, 7分
由,得到① 8分 又, 所以, 所以 10分 假设为等边三角形,则有, 又因为, 所以,即, 11分 化简,解得或 12分 这与①式矛盾,所以假设不成立. 因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分 |