试题分析:(1)求椭圆方程,利用待定系数法,列两个独立方程就可解出 因为短轴上的一个端点到 的距离为 ,所以 而 所以 再根据“准圆”定义,写出“准圆”方程.(2)(ⅰ)直线与椭圆相切问题,通常利用判别式为零求切线方程,利用点斜式设直线方程,与椭圆方程联立消 得关于 的一元二次方程,由判别式为零得斜率 ,即证得两直线垂直.(ⅱ)本题是(ⅰ)的一般化,首先对斜率是否存在进行讨论,探讨得斜率不存在时有两直线垂直,即将问题转化为研究直线是否垂直问题,具体就是研究 是否成立.研究思路和方法同(ⅰ),由于点 坐标在变化,所以由判别式为零得关于点 坐标的一个等式: ,即 ,而这等式对两条切线都适用,所以 的斜率为方程 两根,因此 .当 垂直时,线段 为准圆 的直径,为定值4. 试题解析:解:(1) ,
椭圆方程为 , 2分 准圆方程为 . 3分 (2)(ⅰ)因为准圆 与 轴正半轴的交点为 , 设过点 且与椭圆相切的直线为 , 所以由 得 . 因为直线 与椭圆相切, 所以 ,解得 , 6分 所以 方程为 . 7分
, . 8分 (ⅱ)①当直线 中有一条斜率不存在时,不妨设直线 斜率不存在, 则 : , 当 : 时, 与准圆交于点 , 此时 为 (或 ),显然直线 垂直; 同理可证当 : 时,直线 垂直. 10分 ②当 斜率存在时,设点 ,其中 . 设经过点 与椭圆相切的直线为 , 所以由![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023140203-62539.png) 得 . 由 化简整理得 , 因为 ,所以有 . 设 的斜率分别为 ,因为 与椭圆相切, 所以 满足上述方程 , 所以 ,即 垂直. 12分 综合①②知:因为 经过点 ,又分别交其准圆于点 ,且 垂直. 所以线段 为准圆 的直径, , 所以线段 的长为定值. 14分 |