试题分析:(1)求椭圆方程,利用待定系数法,列两个独立方程就可解出因为短轴上的一个端点到的距离为,所以而所以再根据“准圆”定义,写出“准圆”方程.(2)(ⅰ)直线与椭圆相切问题,通常利用判别式为零求切线方程,利用点斜式设直线方程,与椭圆方程联立消得关于的一元二次方程,由判别式为零得斜率,即证得两直线垂直.(ⅱ)本题是(ⅰ)的一般化,首先对斜率是否存在进行讨论,探讨得斜率不存在时有两直线垂直,即将问题转化为研究直线是否垂直问题,具体就是研究是否成立.研究思路和方法同(ⅰ),由于点坐标在变化,所以由判别式为零得关于点坐标的一个等式:,即,而这等式对两条切线都适用,所以的斜率为方程两根,因此.当垂直时,线段为准圆的直径,为定值4. 试题解析:解:(1), 椭圆方程为, 2分 准圆方程为. 3分 (2)(ⅰ)因为准圆与轴正半轴的交点为, 设过点且与椭圆相切的直线为, 所以由得. 因为直线与椭圆相切, 所以,解得, 6分 所以方程为. 7分 ,. 8分 (ⅱ)①当直线中有一条斜率不存在时,不妨设直线斜率不存在, 则:, 当:时,与准圆交于点, 此时为(或),显然直线垂直; 同理可证当:时,直线垂直. 10分 ②当斜率存在时,设点,其中. 设经过点与椭圆相切的直线为, 所以由 得 . 由化简整理得 , 因为,所以有. 设的斜率分别为,因为与椭圆相切, 所以满足上述方程, 所以,即垂直. 12分 综合①②知:因为经过点,又分别交其准圆于点,且垂直. 所以线段为准圆的直径, , 所以线段的长为定值. 14分 |