已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直

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已知椭圆＋y²＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

答案

（1）（2）

解析

(1)直线AM的斜率为1时，直线AM为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x²＋16x＋12＝0，解之得x₁＝－2，x₂＝－，∴点M的坐标为.
(2)设直线AM的斜率为k，则AM为y＝k(x＋2)，
则化简得(1＋4k²)x²＋16k²x＋16k²－4＝0.
∵此方程有一根为－2，∴x_M＝，同理可得x_N＝
由(1)知若存在定点，则此点必为P.
∵k_MP＝，
同理可计算得k_PN＝.∴直线MN过x轴上的一定点P