学生错解:解:(1)略 (2)由消去y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0, 即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*) 此时x0=-=-,y0=kx0+m=,所以P. 由得Q(4,4k+m). 假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上. 设M(x1,0),则·=0对满足(*)式的m,k恒成立. 因为=,=(4-x1,4k+m), 由·=0,得--4x1+++3=0, 整理,得(4x1-4)+-4x1+3=0.(**),方程无解. 故不存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M. 审题引导:(1)建立方程组求解参数a,b,c;(2)恒成立问题的求解;(3)探索性问题的一般解题思路. 规范解答:解:(1)因为AB+AF2+BF2=8, 即AF1+F1B+AF2+BF2=8,(1分) 又AF1+AF2=BF1+BF2=2a,(2分) 所以4a=8,a=2.又因为e=,即=,所以c=1,(3分) 所以b==.故椭圆E的方程是=1.(4分) (2)由消去y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.(5分) 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0,(6分) 即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)(7分) 此时x0=-=-,y0=kx0+m=,所以P.(8分) 由得Q(4,4k+m).(9分) 假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.(10分) 设M(x1,0),则·=0对满足(*)式的m,k恒成立. 因为=,=(4-x1,4k+m), 由·=0,得--4x1+++3=0, 整理,得(4x1-4)+-4x1+3=0.(**)(12分) 由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.(13分) 故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.(14分) 错因分析:本题易错之处是忽视定义的应用;在处理第(2)问时,不清楚圆的对称性,从而不能判断出点M必在x轴上.同时不会利用恒成立求解. |