若斜率为的直线l与椭圆＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．

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若斜率为

的直线l与椭圆

＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．

答案

解析

由题意易知两交点的横坐标为－c、c，纵坐标分别为－

、

，所以由

＝

得2b²＝

ac＝2(a²－c²)，即2e²＋

e－2＝0，解得e＝

或e＝－

(负根舍去)．

举一反三

已知曲线E：ax²＋by²＝1(a>0，b>0)，经过点M

的直线l与曲线E交于点A、B，且

＝－2

.
(1)若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直线AB的方程．

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已知椭圆C：

＝1(a>b>0)的离心率为

，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若

＝3

，则k＝________．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆

＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；
(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB..

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已知椭圆C：

＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为

.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为

时，求k的值．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋1)²＋y²＝16，点F(1，0)，E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D.

(1)求点B的轨迹方程；
(2)当点D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；
(3)若G是圆C上的另一个动点，且满足FG⊥FE，记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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