如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

答案

（1）＝1.（2）见解析

解析

(1)解：由题意知b＝＝.
因为离心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x₀，y₀)，(－x₀，y₀)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①
直线QN的方程为y＝x＋2.②
(证法1)联立①②解得x＝，y＝，即T.
由＝1可得＝8－4.
因为
＝＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
(证法2)设T(x，y)．联立①②解得x₀＝，y₀＝.
因为＝1，所以＝1.整理得＝(2y－3)²，所以－12y＋8＝4y²－12y＋9，即＝1.
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．